LIMITES

LIMITES 

El término que ahora vamos a analizar es interesante recalcar que está formado por la unión de dos vocablos que tienen su origen etimológico en lenguas antiguas. Así, límites procede de la palabra latina limes, que es el genitivo de limitis que puede traducirse como borde o frontera de algo.

Límites matemáticos

Por su parte, matemáticos es una palabra que tiene su citado origen en el griego y concretamente en el término mathema. Este puede definirse como el estudio de un tema o asunto determinado.

Tomado en: JulioProfe.

Límite en un punto

El límite de la función f(x) en el punto x₀, es el valor al que se acercan las imágenes (las y) cuando los originales (las x) se acercan al valor x₀. Es decir el valor al que tienden las imágenes cuando los originales tienden a x₀.

Vamos a estudiar el límite de la función f(x) = x² en el punto x₀ = 2.

x	f(x)
1,9	3,61
1,99	3,9601
1,999	3,996001
...	...
↓	↓
2	4

x	f(x)
2,1	4.41
2,01	4,0401
2,001	4,004001
...	...
↓	↓
2	4

Tanto si nos acercamos a 2 por la izquierda o la derecha las imágenes se acercan a 4.

Se dice que la función f(x) tiene como límite el número L , cuando x tiende a x₀, si fijado un número real positivo ε , mayor que cero, existe un numero positivo δ dependiente de ε, tal que, para todos los valores de x distintos de x₀ que cumplen la condición|x − x₀| < δ , se cumple que |f(x) − L| < ε.

También podemos definir el concepto de límite a través de entornos:

 si y sólo si, para cualquier entorno de L que tomemos, por pequeño que sea su radio ε, existe un entorno de x₀, E_δ(x₀), cuyos elementos (sin contar x₀), tienen sus imágenes dentro del entorno de L, E_ε(L).

  Una función  y = f(x) puede no estar definida para un cierto punto,  digamos x = xo , como sucede con  y = log x en el punto x = 0,  o como sucede con  y = tg x en el punto x = p/2 . En realidad, una función  y = f(x) puede llegar a mostrar un comportamiento extraño en cierto punto x = xo . Para comprender mejor estas posibles anomalías de algunas funciones se introduce la noción de límite de una función en un punto.

La función  y = f(x) tiene como límite L en el punto x=a.

  Para determinar el límite de y = f(x) en cierto punto x = a ,  debemos prescindir del valor que tenga f(a), incluso puede que f(a) ni siquiera esté definido, y fijarnos en los valores de f(a) para puntos extremadamente cercanos a x = a.

   En el ejemplo del gráfico, observando los valores de los puntos muy próximos a x= a, lo cual será expresado así:  ,  se llega a la conclusión que el límite de y= f(x) "cuando x tiende al valor a" es L. Utilizando simbología matemática, lo expresamos:

  

2. 2  Limites laterales.    Existen funciones que en un cierto punto x = xo  poseen una discontinuidad, sufriendo su gráfica de un "salto", tal como se muestra en la figura de abajo.   La función  y = f(x) tiene como límite L+ por la derecha del punto x=a, y el límite L- por la izquierda del punto x=a.  Para la función   y = f(x) del gráfico de arriba, no está definido el valor f(a) ,  y se dice que el límite de f(x) "por la derecha" del punto x = a  (expresado así:  +e) es  L+, lo cual en simbología matemática es:  Por otra parte, se dice que el límite de f(x) "por la izquierda" del punto x = a  ( expresado así:  -e) es  L+, que en simbología matemática es:   (NOTA: En Cálculo Infinitesimal suelen emplearse letras griegas tales como: e, d, ... para referirnos a valores numéricos muy pequeños.)    Por otra parte, para que podamos hablar verdaderamente del límite de f(x) en el punto x = a  los los límites laterales deben ser iguales, es decir, debe cumplirse:  2. 3  Limites infinitos.   Hay dos casos destacables de límites, tal como podemos verlo en las gráficas de abajo             Para la función y = f(x) de la Fig. 1,  f(x) tiende al valor L para x en el infinito (geométricamente se habla de que y = L es una "asíntota horizontal" de la curva ).   En el caso de la Fig. 2, es la función y = f(x) la que toma un valor infinito en el punto x=a (geométricamente x=a es una "asíntota vertical" de la curva).     En el primer caso se expresa:   Mientras que el segundo así:   2. 4  Algunas propiedades sobre el infinito y valores indeterminados.    Cuando se opera con límites de funciones se trabaja con el conjunto R ampliado, es decir, el conjunto de los números reales al que se le han añadido los entes numéricos: +, -. Conviene, por tanto, tener claras algunas propiedades de estos entes, así como valores que son indeterminados en este conjunto:   *  Para cualquier número n (incluido el 0):  n/= 0.   *  Para cualquier número n positivo (distinto de 0):  n .+= +,   n .(-)= -.   *  Para cualquier número n negativo (distinto de 0):  n .+= -,   n .(-)= +.   *  Para el caso del 0:    0 . +  y   0 . (-)  son Indeterminados.      *  Para números n positivos +/n = +, pero para n negativos +/n = -.    *  Para el caso del 0:   +/0  =  ,  así como -/0 = ,  pero en ambos casos el signo del infinito es Indeterminado .  Algo similar sucede cuando dividimos un número entre cero:  3/0 = , -3/0 =  (el signo del infinito es indeterminado, aunque sí podemos asegurar lo que sucede tanto a la derecha de 0, como a la izquierda de 0 ).    *  Asimismo son Indeterminados:        / (con cualquier signo),  -,  0/0 , 0° , ° (cualq. signo).    La mayoría de estas relaciones son muy lógicas si nos acostumbramos a imaginar a  +,  como  1/(+0), y a   -,  como -1/(+0)  -entendiendo por +0 un número positivo muy pequeño-. 2.5  Propiedades de límites. Sea dos funciones f(x), g(x)  tales que en cierto punto x = a,  sus límites respectivos son A y B, es decir: entonces se tiene que: pero siempre debemos desacartar las expresiones indeterminadas como las anteriormente citadas.   2.6  Cálculo de límites.   Sea una  función y = f(x) ,  si queremos hallar el límite de esa función en un determinado punto  x = a, lo primero que haremos será hallar f(a), ante lo cual pueden suceder tres casos.    I)  f(a)   tiene un valor claro y unívoco.    II)  No podemos hallar f(a)  , bien porque  f(x)  no tiene imagen en el punto x = a, o porque nos da un valor indeterminado.    III)  f(a)  nos da un valor infinito.    Para el primer caso, podemos decir que ese mismo valor de f(a) es el propio valor del límite. Esto sucede en las regiones continuas de y = f(x) . Por ejemplo:   Ejemplo 1: Hallar el límite en el punto x = 2 de la función  y = x² +1 .  Este límite es 5, puesto que de una manera clara tenemos  f(2) = 5.   Ejemplo 2: Hallar el límite en el punto x = 1 de la función :    Para este caso, si hallamos el valor de la función en x = 1  obtenemos  f(1) = 0/0, que es uno de los casos de indeterminación, lo cual no significa que es imposible hallar el límite de f(x) en ese punto,  sino que debemos "operar" para eliminar la indeterminación (por lo general toda indeterminación puede ser determinada). Por ejemplo podemos descomponer en factores el numerador de la fracción:  Al cancelar el factor (x -1) en el numerador y denominador hemos conseguido eliminar la indeterminación. Numerosas indeterminaciones nos aparecen cuando hallamos límites en el infinito, como en los próximos ejemplos.   Ejemplo 3: Hallar el siguiente límite en el infinito:  En principio si sustituimos x por +, nos encontramos con la indeterminación -, en estos casos suele funcionar multiplicar y dividir por la misma expresión pero con el signo positivo, es decir:   Ejemplo 4: Hallar el siguiente límite en el infinito:  Si sustituimos x por +, nos encontramos con la indeterminación /. Para estos casos de cocientes de polinomios en el infinito, se sigue la regla: " Dividir numerador y denominador por la potencia máxima del denominador", que en nuestro caso es x³: teniendo en cuenta que las potencias  1/x,  1/x², etc. son 0.    Hasta ahora hemos visto situaciones de los dos primeros casos, veamos ejemplos del tercer caso, es decir, cuando en x = a el valor de f(a) se hace infinito oimpreciso (entendemos aquí por impreciso cuando los valores que toma la función en x = a+e  y en x = a-e difieren notablemente). Cuando nos encontremos en estas situaciones,  pasaremos a hallar los límites laterales.   Ejemplo 4: Hallar el límite de la función   y = 5/(x-2),  en el punto x=2.    Al hallar f(2) nos encontramos con 5/0, o sea   pero sin precisar el signo. Hallemos, pues, los límites laterales. Para ello consideraremos una cantidad infinitesimal positiva e, que le añadimos al punto x=2 para hacer el límite por la derecha, y que le sustraeremos al x=2 para hacer el límite por la izquierda, a continuación hacemos el límite cuando e ->0.  Veamoslo:   * Por la derecha de x=2: aquí sabemos que 5/0 es +, pues la cantidad e es pequeñísima pero positiva (algo así como si fuera +0,00000000001).   * Por la izquierda de x=2: ahora tenemos -5/e , siendo e ese número pequeñísimo pero positivo (imaginemos algo como antes:  +0,00000000001), por tanto es el mismo resultado que antes pero con signo negativo. Ejemplo 5: Estudiar lo que sucede en x=0 para la función    : Al tratar de hallar f(0) nos encontramos con el número e elevado al infinito impreciso, por lo tanto pasemos a hallar los límites laterales:      En este caso el límite por la derecha de x=0, es decir para x=0+e ,  nos conduce al número e elevado a 1/e (para esta expresión imaginense, como siempre, algo así como 1/ +0,00000000001), cuyo resultado es e elevado a +, o sea, +.     En este límite por la izquierda de x=0, es decir para x=0-e ,  nos conduce al número e elevado a -1/e, una potencia negativa cuyo resultado es la inversa de la potencia positiva , la cual, al igual que antes, es e elevado a +, o sea, nos da el inverso de +, que es el 0.   *  EJERCICIOS SOBRE LÍMITES.   Hallar los 10 límites indicados: Soluciones: a) -(dch.), +(izq.) . b) 1 . c) 4 . d) 6.  e) 12. f) 1/2 (dch.), -1 (izq.) . g) 0 (dch.), +(izq.) . h) 1.  i) 0 . j) 1.    2.7  Algo más sobre límites de funciones.   No crea que el cálculo de límites es una tarea simple, en realidad, la gran variedad de funciones posibles y los más de siete tipos de indeterminación, complica mucho en ocasiones este cálculo. Por eso vamos a concentrarnos en algunos métodos sistemáticos para este cálculo.   I.  El método exponencial para resolver la indeterminación .   II.  La regla de L'Hôpital.   III. Utilización de infinitésimos para cálculo de límites. (Siga el vínculo para ir a cada uno de estos temas)   Finalmente, debemos ser consciente de que no siempre existe límite de una función en un punto, y no solamente porque los límites laterales sean distintos (como hemos dicho en la cuestión 2.3), es que en ocasiones ni siquiera existen estos límites laterales. Consideremos por ejemplo la función  y = log x para el punto x = 0 podemos hallar el límite por la derecha de x = 0, es decir: sin embargo, no podemos hallar el limite a la izquierda de x = 0, puesto que no existen logaritmos de números negativos. Entonces decimos que ese límite a la izquierda no existe. Por supuesto, para un punto tal como x = -5 no existe ninguno de los límites laterales, pues log x sólo tiene existencia en la zona positiva de x.   Otro caso son funciones como  y = sin x,   y = cos x, u otras funciones periódicas, que al tratar de hallar su límite en cualquiera de los infinitos, nos encontramos sin poder decidir cuál es su valor allí (en realidad el infinito no es un punto sino una zona definida algo imprecisamente, y la igualdad =+1, provoca conflicto en este tipo de funciones). Por lo tanto, hemos de decir que no existe el límite:   Sin embargo, debe notarse que el producto o cociente de una función cuyo límite es inexistente con otra en la que sí exista puede conducir a un límite con existencia. Por ejemplo:   Aquí la función 1/x tiene por límite 0 en el infinito, que al multiplicarla por el seno de infinito no puede dar otra cosa que 0.