ANTIDERIVADAS

La antiderivada es la función que resulta del proceso inverso de la derivación, es                                              decir, consiste en encontrar una función que, al ser derivada produce la función dada.

Tomado en: TareaPlus. 

Por ejemplo:
Si f(x) = 3×2, entonces, F(x) = x3, es una antiderivada de f(x). Observe que no existe una derivada única para cada función. Por ejemplo, si G(x) = x3+ 5, entonces es otra antiderivada de f(x).

La anti derivada 

También se conoce como la primitiva o la integral indefinida se expresa de la siguiente manera: en donde: f(x) es el integrando; dx, la variable de integración o diferencial de x y C es la constante de integración.

EJEMPLO 2
Bien ahora vamos a sacar la antiderivada de la siguiente función





Para ello necesitamos la siguiente formula, esta nos dice que la integral de sen es - cos y esa parte es muy facil de comprender, pero ¿Qué es esa letra K en la formula?




Bueno como veras en el siguiente ejemplo " K " es la constante que multiplica la X de nuestra función

Por lo tanto aplicando la formula obtendremos el siguiente resultado:

EJEMPLOS:

1- Pues la derivada de x2+4 es 2x, una antiderivada de 2x es x2+4.

2- Pues la derivada de x2+30 es 2x también, una otra antiderivada de 2x es x2+30.

3- En forma parecida, una otra antiderivada de 2x es x2-49.

4- En forma parecida, una otra antiderivada de 2x es x2 + C, donde C es cualquier constante (positiva, negativa, o cero)

En cálculo infinitesimal, la función primitiva o antiderivada de una función f es una función F cuya derivada es f, es decir, F ′ = f.

Una condición suficiente para que una función f admita primitivas sobre un intervalo es que sea continua en dicho intervalo.

Si una función f admite una primitiva sobre un intervalo, admite una infinidad, que difieren entre sí en una constante: si F1 y F2 son dos primitivas de f, entonces existe un número real C, tal que F1 = F2 + C. A C se le conoce como constante de integración. Como consecuencia, si F es una primitiva de una función f, el conjunto de sus primitivas es F + C. A dicho conjunto se le llama integral indefinida de f y se representa como:

El proceso de hallar la primitiva de una función se conoce como integración indefinida y es por tanto el inverso de la derivación. Las integrales indefinidas están relacionadas con las integrales definidas a través del teorema fundamental del cálculo, y proporcionan un método sencillo de calcular integrales definidas de numerosas funciones.

MÁXIMOS Y MÍNIMOS (Absolutos y relativos)

 En la gráfica se pueden observar una serie de puntos donde el ciclista pasa de "subir" a "bajar" o bien de "bajar" a "subir". Esos puntos son donde alcanza la cima de una montaña o bien donde se encuentra en el punto más bajo del recorrido. Tiene por tanto sentido que intentemos clasificar también dichos puntos y que a los puntos donde se alcanzan las cimas los llamemos máximos y a los puntos donde alcanza las menores alturas los llamemos mínimos. Un máximo que no esté en los extremos la función tiene que pasar de creciente a decreciente y que en los mínimos que no están en los extremos la función tiene que pasar de ser decreciente a ser creciente.

La derivada de un polinomio de grado 1 (una función lineal) es una función constante (de grado 0, una recta horizontal). Entonces, la primitiva de una función constante es una función lineal.

Encontrar primitivas de funciones polinómicas es también sencillo. Por ejemplo, una función lineal básica (la función identidad):

La derivada de un polinomio de grado 2 (una parábola) es un polinomio de grado 1 (una función lineal). Entonces, la primitiva de una función lineal es una parábola.

Podemos ver el ejemplo de una función cuadrática (una parábola):

La derivada de una función de grado 3 (una función cubica) es un polinomio de grado 2 (una parábola). Entonces, la primitiva de una parábola es una función cúbica.

Cuando diferenciamos una función polinómica obtenemos una función polinómica de grado uno menor que la función original. Cuando encontramos una primitiva de una función polinómica tenemos una función polinómica de grado uno mayor que la función original.

Encontrar primitivas de funciones polinómicas es sencillo. Sin embargo, encontrar primitivas resulta un problema difícil, en general. El Teorema Fundamental del Cálculo nos dice que siempre podemos construir una antiderivada (o primitiva) de una función continua por integración.

REFERENCIAS

Michael Spivak, Calculus, Third Edition, Publish-or-Perish, Inc.

Tom M. Apostol, Calculus, Second Edition, John Willey and Sons, Inc.